Diskretisierung

Mit den gängigen Modellierungswerkzeugen folgt die Modellierung dynamischer Systeme letztlich der Beschreibung durch kontinuierliche Differentialgleichungssysteme. Lediglich zur Lösung des Gleichungssystems wird dieses diskretisiert, um es numerischen Lösungsverfahren zugänglich zu machen. Hier liegt m.E. ein weiteres Problem beim Einsatz von Modellbildungssystemen.

Die in der Natur vorkommenden dynamischen Systeme sind eben nicht immer kontinuierlich. Insbesondere das Paradebeispiel, das Räuber-Beute-Modell, ist ein diskretes System. Eigentlich haben sehr viele der als kontinuierlich behandelten Systeme einen diskreten Charakter. Sie können nur deswegen problemlos als kontinuierliche Systeme behandelt werden, weil die Anzahl der beteiligten Objekte (z.B. Elektronen bei der Stromleitung) sehr groß ist, und deswegen die Schrittweite beliebig verkleinert werden kann ohne daß die diskrete Natur des Systems in Erscheinung tritt.

Beim Räuber-Beute-Modell führt die kontinuierliche Betrachtung zu zwei Problemen:

• Das Ergebnis stimmt nicht mit der Erfahrung der Lernenden überein. Halbe Füchse oder Hasen kann es in der Natur ja nicht geben.
• Wesentlich ist aber, daß die benutzten Gleichungen nicht mit der Erfahrung übereinstimmen. Sowohl die Geburt als auch der Tod der Tiere stellen diskrete Ereignisse dar. Zwar ist der Zeitpunkt eines Ereignisses zufällig. Das Ereignis selbst tritt aber entweder ein, oder es tritt nicht ein. Damit ist aber der Ausdruck:

Beute * Räuber * Konstante

nicht in Einklang zu bringen.

Wesentlich einsichtiger erschiene es mir, wenn in einem Modellbildungssystem wie folgt argumentiert werden könnte:

Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Beutetier gefressen wird, wird um so größer, je mehr Beute- und Räubertiere es gibt, da die Wahrscheinlichkeit, daß es zu einem Zusammentreffen kommt, zunimmt. Ob tatsächlich ein Beutetier gefressen wird, wird über einen Zufallszahlengenerator bestimmt. Dieser wiederum wird modifiziert durch den obigen Ausdruck, der nun allerdings eine ganz andere Bedeutung hat. Dieses Vorgehen bietet zwei Vorteile: